В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90°, АС=8 см, ∠ABC=45°. Найдите: а) AB; б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Решение:

а) Найдем гипотенузу AB.

В прямоугольном треугольнике ABC, угол ∠ABC = 45°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол ∠BAC = 180° - 90° - 45° = 45°.

Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный, то есть AC = BC = 8 см.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу AB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \]

\[ AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \) см.

б) Найдем высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Площадь прямоугольного треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 \) см².

2. Через гипотенузу и высоту к ней: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \).

Приравняем площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = 32 \]

\[ CD = \frac{2 \cdot 32}{AB} = \frac{64}{8\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \]

Рационализируем знаменатель:

\[ CD = \(\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\) = \(\frac{8\sqrt{2}}{2}\) = 4\(\sqrt{2}\) \) см.

Ответ: а) \( 8\sqrt{2} \) см; б) \( 4\sqrt{2} \) см.