В прямоугольном Д-ке точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты Д-ка. а) 12 см и 16 см; б)7 см и 11 см; в)10 см и 13 см; г)8 см и 15 см.

1. Пусть катеты равны a и b, а гипотенуза c. Отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу, равны полуразности катетов и полусумме катетов с вычетом радиуса вписанной окружности.

2. Пусть точка касания делит гипотенузу на отрезки x и y. Тогда катеты равны r+x и r+y, где r - радиус вписанной окружности.

3. Если x=5, y=12, то катеты равны r+5 и r+12. Гипотенуза равна 5+12=17. По теореме Пифагора: (r+5)² + (r+12)² = 17². Решая это уравнение, находим r.

4. Если катеты равны 12 и 16, то гипотенуза равна 20. Полупериметр p = (12+16+20)/2 = 24. Площадь S = 1/2 * 12 * 16 = 96. Радиус вписанной окружности r = S/p = 96/24 = 4. Отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу: p-a = 24-12=12, p-b = 24-16=8. Это не соответствует условию.

5. Если катеты равны 7 и 11, гипотенуза = sqrt(49+121) = sqrt(170).

6. Если катеты равны 8 и 15, гипотенуза = sqrt(64+225) = sqrt(289) = 17. Полупериметр p = (8+15+17)/2 = 20. Площадь S = 1/2 * 8 * 15 = 60. Радиус вписанной окружности r = S/p = 60/20 = 3. Отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу: p-a = 20-8=12, p-b = 20-15=5. Это соответствует условию.

7. Ответ: г)8 см и 15 см.