12. В приборе для поверки в форме правильной четырехугольной пирамиды боковое ребро равно 10, а диагональ основания 16. Вычислите объем фигуры.

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду. Пусть боковое ребро $$l = 10$$, а диагональ основания $$d = 16$$. Нужно найти объем пирамиды $$V$$.

1. Найдем сторону основания $$a$$. Так как в основании лежит квадрат, то $$d = a\sqrt{2}$$. Отсюда, $$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$$.
2. Найдем площадь основания $$S$$. $$S = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128$$.
3. Найдем высоту пирамиды $$h$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. По теореме Пифагора, $$h^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$$. Отсюда, $$h^2 = l^2 - (\frac{d}{2})^2 = 10^2 - (\frac{16}{2})^2 = 100 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$. Значит, $$h = \sqrt{36} = 6$$.
4. Найдем объем пирамиды $$V$$. $$V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 = 128 \cdot 2 = 256$$.

Ответ: 256