В правильной треугольной пирамиде SABC P — середина ребра AB, S — вершина. Известно, что BC = 5, а SP = 6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Пирамида правильная, значит, в основании лежит равносторонний треугольник ABC, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

P — середина ребра AB.

SP — апофема пирамиды (высота боковой грани, опущенная из вершины S на основание AB).

Нам дано:

• BC = 5 (сторона основания)
• SP = 6 (апофема)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a \)

где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h_a \) — апофема.

Периметр основания:

\( P_{осн} = AB + BC + AC \)

Так как пирамида правильная, треугольник ABC — равносторонний, поэтому AB = BC = AC = 5.

\( P_{осн} = 5 + 5 + 5 = 15 \)

Апофема нам дана: \( h_a = SP = 6 \).

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 90 = 45 \)

Ответ: 45