Контрольные задания
Вопрос:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (углы прямые).

Фото задания: Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (углы прямые).Фото задания

Ответ:

Решение:

Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов. Размеры большего параллелепипеда: длина = 5, ширина = 3, высота = 2.

Размеры меньшего параллелепипеда: длина = 2, ширина = 2, высота = 2.

Площадь поверхности каждого параллелепипеда вычисляется по формуле \( S = 2(ab + bc + ac) \).

Площадь поверхности большего параллелепипеда (без учета выреза):

\( S_{большого_полная} = 2(5 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2) = 2(15 + 6 + 10) = 2(31) = 62 \)

Площадь поверхности меньшего параллелепипеда:

\( S_{меньшего} = 2(2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2(4 + 4 + 4) = 2(12) = 24 \)

Теперь нужно учесть, что меньший параллелепипед вырезан из большего. Площадь вырезанной части из большего параллелепипеда равна площади верхней грани меньшего параллелепипеда, т.е. \( 2 \cdot 2 = 4 \). Эта площадь была учтена в \( S_{большого_полная} \), но теперь она не является внешней поверхностью. Также, когда мы добавляем меньший параллелепипед, появляются его боковые грани, которые были внутри.

Правильный подход:

Рассмотрим каждую грань фигуры:

  1. Передняя грань: Прямоугольник 5x2. Площадь = 10.
  2. Задняя грань: Прямоугольник 5x2. Площадь = 10.
  3. Нижняя грань: Прямоугольник 5x3. Площадь = 15.
  4. Правая боковая грань: Состоит из двух частей: прямоугольник 3x2 (высота большего параллелепипеда) и прямоугольник 2x2 (высота меньшего параллелепипеда, приставленная сбоку). Общая высота = 2 + 2 = 4. Ширина = 3. Это неверно.

Давайте разобьем на части:

  1. Большой параллелепипед:
    • Нижняя грань: 5x3 = 15
    • Передняя грань: 5x2 = 10
    • Задняя грань: 5x2 = 10
    • Боковые грани (сложные):
      • Левая сторона: 3x2 = 6
      • Правая сторона: 3x2 = 6
  2. Меньший параллелепипед (приставлен сверху):
    • Верхняя грань: 2x2 = 4
    • Боковые грани: 2x2 = 4 (4 шт.)

Корректный подход:

Площадь поверхности состоит из внешних граней.

  1. Нижняя грань: 5x3 = 15
  2. Передняя грань: 5x2 = 10
  3. Задняя грань: 5x2 = 10
  4. Правая боковая грань: прямоугольник 3x2 = 6.
  5. Левая боковая грань: Состоит из двух частей: нижняя часть 3x2=6, и верхняя часть 2x2=4. Общая площадь левой грани = 6 + 4 = 10.
  6. Верхняя грань: Состоит из двух частей: часть большого параллелепипеда (5-2)x3 = 3x3 = 9. Это не верно.

Рассмотрим поверхность по частям:

  1. Большой параллелепипед (без выреза):
    • Нижняя грань: \( 5 \cdot 3 = 15 \)
    • Передняя грань: \( 5 \cdot 2 = 10 \)
    • Задняя грань: \( 5 \cdot 2 = 10 \)
    • Левая боковая грань: \( 3 \cdot 2 = 6 \)
    • Правая боковая грань: \( 3 \cdot 2 = 6 \)
    • Верхняя грань: \( 5 \cdot 3 = 15 \)
    • Сумма: \( 15+10+10+6+6+15 = 62 \)
  2. Площадь вырезанного отверстия (дна меньшего параллелепипеда): \( 2 \cdot 2 = 4 \). Эта площадь была в верхней грани большого параллелепипеда, и мы ее убираем.
  3. Боковые грани меньшего параллелепипеда (приставленного сверху):
    • 4 грани, каждая \( 2 \cdot 2 = 4 \). Общая площадь = \( 4 \cdot 4 = 16 \).
  4. Верхняя грань меньшего параллелепипеда: \( 2 \cdot 2 = 4 \).

Итоговая площадь поверхности:

Площадь большого параллелепипеда минус площадь выреза + площадь боковых и верхней граней меньшего параллелепипеда.

\( S_{полная} = (S_{большого_полная} - S_{выреза}) + S_{боковых_малого} + S_{верхней_малого} \)

\( S_{полная} = (62 - 4) + 16 + 4 = 58 + 16 + 4 = 78 \)

Альтернативный подсчет:

  1. Нижняя грань: \( 5 \cdot 3 = 15 \)
  2. Передняя грань: \( 5 \cdot 2 = 10 \)
  3. Задняя грань: \( 5 \cdot 2 = 10 \)
  4. Правая боковая грань: \( 3 \cdot 2 = 6 \)
  5. Левая боковая грань: \( 3 \cdot 2 \) (нижняя часть) + \( 2 \cdot 2 \) (верхняя часть) = 6 + 4 = 10
  6. Верхняя грань: \( (5-2) \cdot 3 \) (большая часть) + \( 2 \cdot 2 \) (меньшая часть) = \( 3 \cdot 3 + 4 = 9 + 4 = 13 \). Это не так.

Правильный подсчет поверхности:

  1. Нижняя грань: \( 5 \times 3 = 15 \)
  2. Передняя грань: \( 5 \times 2 = 10 \)
  3. Задняя грань: \( 5 \times 2 = 10 \)
  4. Правая боковая грань: \( 3 \times 2 = 6 \)
  5. Левая боковая грань: \( 3 \times 2 \) (нижняя) + \( 2 \times 2 \) (верхняя) = 6 + 4 = 10
  6. Верхняя поверхность:
    • Часть большого параллелепипеда: \( (5-2) \times 3 = 3 \times 3 = 9 \)
    • Боковые грани меньшего параллелепипеда: \( 4 \times (2 \times 2) = 4 \times 4 = 16 \)
    • Верхняя грань меньшего параллелепипеда: \( 2 \times 2 = 4 \)

Суммируем площади всех видимых граней:

\( S = 15 + 10 + 10 + 6 + 10 + 9 + 16 + 4 = 80 \)

Проверка:

Большой параллелепипед: \( 2(5 \times 3 + 3 \times 2 + 5 \times 2) = 2(15 + 6 + 10) = 2(31) = 62 \)

Меньший параллелепипед: \( 2(2 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 2) = 2(4+4+4) = 24 \)

Когда мы вырезаем меньший параллелепипед из большего, мы убираем площадь \( 2 \times 2 = 4 \) (верхняя грань большего). И добавляем 3 боковые грани меньшего ( \( 3 \times (2 \times 2) = 12 \) ) и верхнюю грань меньшего ( \( 2 \times 2 = 4 \) ).

\( S_{общей} = S_{большого} - S_{выреза} + S_{новых_граней} \)

\( S_{общей} = 62 - 4 + (3 \times (2 \times 2) + 2 \times 2) = 62 - 4 + (12 + 4) = 58 + 16 = 74 \)

Еще раз проверим:

Нижняя грань: \( 5 \times 3 = 15 \)

Передняя грань: \( 5 \times 2 = 10 \)

Задняя грань: \( 5 \times 2 = 10 \)

Правая боковая грань: \( 3 \times 2 = 6 \)

Левая боковая грань: \( 3 \times 2 \) (нижняя) + \( 2 \times 2 \) (верхняя) = 6 + 4 = 10

Верхняя часть:

\( (5-2) \times 3 \) (большая плоская часть) + \( 4 \times (2 \times 2) \) (боковые грани маленького параллелепипеда) + \( 2 \times 2 \) (верхняя грань маленького параллелепипеда) = \( 3 \times 3 + 16 + 4 = 9 + 16 + 4 = 29 \).

\( 15 + 10 + 10 + 6 + 10 + 29 = 80 \)

Ответ: 80