7. В правильной четырёхугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ ребро $$AA_1$$ равно 15, а диагона BD₁ равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $$A_1$$ и С.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDD_1$$. По теореме Пифагора, $$BD^2 = BD_1^2 - DD_1^2 = 17^2 - 15^2 = (17 - 15)(17 + 15) = 2 \times 32 = 64$$. Отсюда $$BD = \sqrt{64} = 8$$.

2. Поскольку $$ABCD$$ - квадрат, то $$AB = AD = \frac{BD}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$$.

3. Сечение $$A_1C$$ - прямоугольник со сторонами $$A_1C = AC = BD = 8$$ и $$AA_1 = 15$$.

4. Площадь сечения $$S = A_1C \cdot AA_1 = 8 \cdot 15 = 120$$.

Ответ: 120