18. В параллелограммме ABCD биссектриса угла А, величина которого равна 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ=9. Ответ:

1. Так как AM – биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD = 60^\circ / 2 = 30^\circ\). Так как ABCD – параллелограмм, то \(BC \parallel AD\), значит \(\angle BMA = \angle MAD = 30^\circ\) (как накрест лежащие).
2. В треугольнике ABM углы \(\angle BAM\) и \(\angle BMA\) равны, следовательно, треугольник ABM – равнобедренный, и \(AB = BM = 9\).
3. Так как AM и DM перпендикулярны, то \(\angle AMD = 90^\circ\). В треугольнике AMD сумма углов равна 180°, значит \(\angle ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
4. Так как ABCD – параллелограмм, то \(\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), значит \(\angle CDM = \angle ADC - \angle ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ\).
5. В треугольнике CDM углы \(\angle CDM\) и \(\angle DCM\) равны, следовательно, треугольник CDM – равнобедренный, и \(CM = DM\).
6. Треугольник AMD – прямоугольный с углом 30°, значит катет DM равен половине гипотенузы AD, то есть \(AD = 2 \cdot DM\).
7. Так как BC = BM + MC, то \(AD = BC = BM + MC = 9 + MC\). Из равенства \(AD = 2 \cdot DM\) и \(CM = DM\) следует, что \(AD = 2 \cdot CM\), значит \(9 + MC = 2 \cdot MC\), откуда \(MC = 9\).
8. Следовательно, \(AD = 9 + 9 = 18\).
9. Периметр параллелограмма ABCD равен \(2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (9 + 18) = 2 \cdot 27 = 54\).

Ответ: 54