4. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны AD, ∠ACB = 100° (см. рис. 82). Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма как O. Пусть AD = x, тогда AC = 2x. Поскольку ABCD - параллелограмм, BC = AD = x.

Рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике BC = x, AC = 2x и ∠ACB = 100°. Проведём высоту BH к стороне AC.

В прямоугольном треугольнике BHC синус угла ∠BCH равен отношению противолежащего катета BH к гипотенузе BC: $$sin∠BCH = \frac{BH}{BC}$$.

Выразим BH: $$BH = BC \cdot sin∠BCH = x \cdot sin100°$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Синус угла ∠BAH равен отношению противолежащего катета BH к гипотенузе AB: $$sin∠BAH = \frac{BH}{AB}$$.

Поскольку ABCD - параллелограмм, AB = CD. Так же в параллелограмме противоположные стороны равны, то есть AB = CD. Тогда $$sin∠BAH = \frac{BH}{CD}$$

Заметим, что треугольник ABO подобен треугольнику CDO, так как у них вертикальные углы равны и углы при основании так же равны. Отношение длин сторон в этих треугольниках одинаковое.

ΔABC: по теореме синусов: $$\frac{BC}{sin∠BAC} = \frac{AC}{sin∠ABC}$$.

Так как AB = 2AD: $$\frac{x}{sin∠BAC} = \frac{2x}{sin∠ABC}$$.

Отсюда $$sin∠ABC = 2sin∠BAC$$

Обозначим острый угол между диагоналями параллелограмма за α. Угол между диагоналями равен 60 градусов.

Ответ: 60°.