В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 24 см. Боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем пирамиды.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем площадь основания (правильного треугольника).
   Сторона основания \( a = 24 \) см.
   Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \( S_{осн} = rac{a^2 √{3}}{4} \).
   \( S_{осн} = rac{24^2 √{3}}{4} = rac{576 √{3}}{4} = 144 √{3} \) см².
2. Шаг 2: Найдем высоту пирамиды. Боковые ребра образуют с плоскостью основания угол 60°. Это означает, что если мы проведем высоту пирамиды из вершины к центру основания (который является центром описанной окружности для правильного треугольника), то угол между боковым ребром и радиусом описанной окружности будет 60°.
3. Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности (R) для правильного треугольника.
   \( R = rac{a}{√{3}} = rac{24}{√{3}} = rac{24√{3}}{3} = 8√{3} \) см.
4. Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом описанной окружности (R) и боковым ребром (l).
   В этом треугольнике угол при основании равен 60°.
   \( ext{tg}(60^ ext{o}) = rac{H}{R} \).
5. Шаг 5: Найдем высоту \( H \):
   \( H = R imes ext{tg}(60^ ext{o}) = 8√{3} imes √{3} = 8 imes 3 = 24 \) см.
6. Шаг 6: Теперь найдем объем пирамиды по формуле: \( V = rac{1}{3} S_{осн} H \).
7. Шаг 7: Подставим значения:
   \( V = rac{1}{3} imes (144√{3}) imes 24 \)
   \( V = 144√{3} imes 8 \)
   \( V = 1152√{3} \) см³.

Ответ: \( 1152√{3} ext{ см}^3 \)