Найдите сумму всех различных корней уравнения \( \frac{2}{x-3} + \frac{x+3}{x^2+3x+6} = 0 \)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приведем уравнение к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( x-3 \) и \( x^2+3x+6 \) будет \( (x-3)(x^2+3x+6) \). Однако, заметим, что \( x^2+3x+6 \) не имеет действительных корней (дискриминант \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0 \)), поэтому он не может быть равен нулю. Исходное уравнение можно переписать как \( \frac{2}{x-3} + \frac{x+3}{x^2+3x+6} = 0 \). Для удобства, мы можем привести к общему знаменателю \( (x-3)(x^2+3x+6) \). Но более простой путь - умножить обе части уравнения на \( (x-3)(x^2+3x+6) \), предварительно убедившись, что \( x
   eq 3 \).
2. Шаг 2: Умножаем обе части уравнения на \( (x-3)(x^2+3x+6) \):
   \( 2(x^2+3x+6) + (x+3)(x-3) = 0 \)
3. Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:
   \( 2x^2 + 6x + 12 + x^2 - 9 = 0 \)
   \( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \)
4. Шаг 4: Разделим на 3:
   \( x^2 + 2x + 1 = 0 \)
5. Шаг 5: Решим полученное квадратное уравнение. Это полный квадрат:
   \( (x+1)^2 = 0 \)
   Отсюда, \( x = -1 \).
6. Шаг 6: Проверим, является ли корень \( x = -1 \) посторонним. При \( x = -1 \), знаменатель \( x-3 = -1-3 = -4 \) (не равен 0). Знаменатель \( x^2+3x+6 = (-1)^2 + 3(-1) + 6 = 1 - 3 + 6 = 4 \) (не равен 0). Следовательно, \( x = -1 \) — действительный корень.
7. Шаг 7: Поскольку уравнение \( (x+1)^2 = 0 \) имеет только один корень \( x = -1 \) (с кратностью 2), то сумма всех различных корней равна -1.

Ответ: -1