5*. В окружности с центром О проведены диаметр АС и хорда BD, пересекающиеся в точке М, причем BM = DM. ∠BAC = 35°. Найдите ∠BAD.

1. Так как BM = DM, то хорда BD делится точкой M пополам. 2. Поскольку AC - диаметр, то угол ABC - прямой (опирается на диаметр). 3. В треугольнике ABC угол BAC = 35°, угол ABC = 90°, следовательно, угол BCA = 180° - 90° - 35° = 55°. 4. Угол BOD - центральный, опирается на ту же дугу, что и угол BAD. Угол BCD = углу BAD, так как опираются на одну и ту же дугу. 5. Угол BOC = 2*углу BAC = 2 * 35° = 70° (центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу). 6. Угол DOC = 180° - угол BOC = 180° - 70° = 110° (так как BOC и DOC - смежные). 7. Угол DBC = половине угла DOC = 110°/2 = 55° (вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу). 8. Угол BAD = углу BAC + углу CAD. 9. Угол CAD = углу CBD = 55°. 10. Угол BAD = 35° + 55° = 90°. Ответ: 90°