В окружности провели две равные хорды. Докажите, что они находятся на одинаковых расстояниях от её центра (рис. 20.48).

Пусть AB и CD - равные хорды окружности с центром O. Проведем перпендикуляры OM и ON к хордам AB и CD соответственно. OM и ON - расстояния от центра до хорд. Треугольники OMA и ONC являются прямоугольными. Так как AB = CD, то AM = CN (половины равных хорд). По теореме Пифагора, OM^2 = OA^2 - AM^2 и ON^2 = OC^2 - CN^2. Поскольку OA = OC (радиусы) и AM = CN, то OM^2 = ON^2, следовательно, OM = ON.

Доказано.