Две окружности имеют общую хорду. Докажите, что она перпендикулярна прямой, на которой лежат их центры.

Решение:

Пусть даны две окружности с центрами в точках O₁ и O₂. Пусть AB — их общая хорда.

Рассмотрим треугольники ΔAO₁B и ΔAO₂B. В этих треугольниках:

• AO₁ = BO₁ (радиусы первой окружности),
• AO₂ = BO₂ (радиусы второй окружности),
• AB — общая сторона.

Следовательно, треугольники ΔAO₁B и ΔAO₂B равны по трём сторонам (по признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что равны и соответствующие углы:

• ∠AO₁O₂ = ∠BO₁O₂
• ∠AO₂O₁ = ∠BO₂O₁

Рассмотрим треугольник ΔAO₂B. В нем O₁O₂ является биссектрисой углов ∠AO₁B и ∠AO₂B.

Теперь рассмотрим треугольник ΔAO₁B. O₁O₂ также является биссектрисой углов ∠AO₁B.

В равнобедренном треугольнике (например, ΔAO₁B, где AO₁=BO₁), биссектриса, проведённая к основанию AB, также является медианой и высотой. Следовательно, O₁O₂ перпендикулярна AB.

Аналогично, если рассмотреть треугольник ΔAO₂B (где AO₂=BO₂), то O₁O₂ является биссектрисой, медианой и высотой к основанию AB. Значит, O₁O₂ перпендикулярна AB.

Таким образом, прямая, на которой лежат центры окружностей (O₁O₂), перпендикулярна их общей хорде AB.

Ответ: доказано.