В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М, МВ = 10 см, АМ = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM.

Дано:

Окружность, хорды AB и CD пересекаются в точке M. AM = 12 см, MB = 10 см, DC = 23 см.

Найти:

CM и DM.

Решение:

1. По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM \(\cdot\) MB = CM \(\cdot\) DM.
2. Длина хорды AB = AM + MB = 12 + 10 = 22 см.
3. Пусть CM = x. Тогда DM = DC - CM = 23 - x.
4. Подставим значения в равенство: 12 \(\cdot\) 10 = x \(\cdot\) (23 - x).
5. 120 = 23x - x².
6. x² - 23x + 120 = 0.
7. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \).
8. \( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \).
9. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.
10. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
11. Если CM = 15 см, то DM = 23 - 15 = 8 см.
12. Если CM = 8 см, то DM = 23 - 8 = 15 см.
13. Оба варианта возможны.

Ответ: Отрезки хорды CD равны 15 см и 8 см (CM = 15 см, DM = 8 см или CM = 8 см, DM = 15 см).