В На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме Пифагора, $$AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$.

$$AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$.

$$BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$.

По теореме косинусов, $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\angle BAC)$$.

$$(2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot cos(\angle BAC)$$.

$$8 = 2 + 2 - 4 \cdot cos(\angle BAC)$$.

$$4 = -4 \cdot cos(\angle BAC)$$.

$$cos(\angle BAC) = -1$$.

$$\angle BAC = 180^\circ$$

Угол ABC является внешним углом для угла, смежного с углом BAC. Сумма смежных углов равна 180°. Следовательно, угол ABC = 180° - 180° = 90° + 45° = 135°.

Рассмотрим рисунок. Угол ABC тупой. Рассмотрим треугольник, образованный точками A, B, C. AC = \sqrt{2}, AB = \sqrt{2}, BC = 2\sqrt{2}. Тангенс угла CBA можно найти, зная катеты. tg(ABC) = 1/1 = 1, а arctg(1)=45°. Следовательно, угол ABC=45°+90°=135°.

Ответ: 135