В многоквартирном доме 126 квартир. Известно, что во всех подъездах дома одинаковое число этажей и на любом этаже каждого подъезда одинаковое число квартир (больше одной). Сколько этажей в этом доме, если число квартир на каждом этаже в подъезде в 2 раза меньше числа этажей в доме?

Пусть (x) - число этажей в доме, а (y) - число квартир на этаже в подъезде. Тогда число квартир в одном подъезде равно (x \cdot y). По условию, (y = \frac{x}{2}). Пусть (z) - число подъездов в доме. Тогда общее число квартир в доме равно (z \cdot x \cdot y = 126). Подставим (y = \frac{x}{2}) в уравнение: \[z \cdot x \cdot \frac{x}{2} = 126\] \[z \cdot x^2 = 252\] Разложим 252 на простые множители: (252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7). Так как (x) должно быть целым числом, (x^2) должно быть квадратом. Значит, (x^2) может быть равно (2^2), (3^2), или (2^2 \cdot 3^2 = 36). Если (x^2 = 4), то (x = 2), и (z = 63). Тогда (y = \frac{2}{2} = 1), но по условию квартир на этаже больше одной, поэтому этот вариант не подходит. Если (x^2 = 9), то (x = 3), и (z = 28). Тогда (y = \frac{3}{2} = 1.5), но число квартир должно быть целым, поэтому этот вариант не подходит. Если (x^2 = 36), то (x = 6), и (z = 7). Тогда (y = \frac{6}{2} = 3). В этом случае число этажей равно 6, число подъездов равно 7, и число квартир на этаже в подъезде равно 3. Общее число квартир равно (7 \cdot 6 \cdot 3 = 126). Ответ: 6