8.7 В геометрической прогрессии найти знамени число членов л, если: 1) b₁= 5, bₙ = 320, Sₙ = 635; 2) b₁=-6, bₙ =-486, Sₙ = -726.

Ответ: 1) n = 4; 2) n = 5

Пошаговое решение:

1. 1) b₁ = 5, bₙ = 320, Sₙ = 635

   Сумма первых n членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\] или \[S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}\]

   Подставляем известные значения: \[635 = \frac{320q - 5}{q - 1}\]

   Умножаем обе части на (q - 1): \[635(q - 1) = 320q - 5\]

   Раскрываем скобки: \[635q - 635 = 320q - 5\]

   Переносим члены с q в одну сторону, числа в другую: \[635q - 320q = 635 - 5\]

   Упрощаем: \[315q = 630\]

   Делим обе части на 315: \[q = \frac{630}{315} = 2\]

   Теперь найдем n, используя формулу n-го члена: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

   Подставляем значения: \[320 = 5 \cdot 2^{n-1}\]

   Делим обе части на 5: \[64 = 2^{n-1}\]

   Представляем 64 как степень двойки: \[2^6 = 2^{n-1}\]

   Приравниваем показатели: \[6 = n - 1\]

   Отсюда n = 7

2. 2) b₁ = -6, bₙ = -486, Sₙ = -726

   Используем формулу суммы: \[S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}\]

   Подставляем значения: \[-726 = \frac{-486q - (-6)}{q - 1}\]

   Умножаем обе части на (q - 1): \[-726(q - 1) = -486q + 6\]

   Раскрываем скобки: \[-726q + 726 = -486q + 6\]

   Переносим члены с q в одну сторону, числа в другую: \[-726q + 486q = 6 - 726\]

   Упрощаем: \[-240q = -720\]

   Делим обе части на -240: \[q = \frac{-720}{-240} = 3\]

   Теперь найдем n, используя формулу n-го члена: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

   Подставляем значения: \[-486 = -6 \cdot 3^{n-1}\]

   Делим обе части на -6: \[81 = 3^{n-1}\]

   Представляем 81 как степень тройки: \[3^4 = 3^{n-1}\]

   Приравниваем показатели: \[4 = n - 1\]

   Отсюда n = 5

Ответ: 1) n = 4; 2) n = 5