В четырёхугольнике АВСD диагонали АС и BD перпендикулярны, а диагональ АС делит диагональ BD на две равные части. Докажите, что ВС = CD.

Пусть точка O - точка пересечения диагоналей AC и BD. Так как AC делит BD пополам, то BO = OD. По условию, диагонали AC и BD перпендикулярны, то есть ∠BOC = ∠DOC = 90°.

Рассмотрим треугольники BOC и DOC. У них OC - общая сторона, BO = OD и ∠BOC = ∠DOC = 90°.

Значит, треугольники BOC и DOC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что BC = CD, что и требовалось доказать.