В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, найдите угол D, если известно, что ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 8 : 9.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, значит, он вписанный. В таком четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

\( \angle A + \angle C = 180° \)

\( \angle B + \angle D = 180° \)

Из условия задачи имеем:

\( \angle A : \angle B : \angle C = 3 : 8 : 9 \).

Пусть \( \angle A = 3x \), \( \angle B = 8x \), \( \angle C = 9x \).

Подставим значения \( \angle A \) и \( \angle C \) в первое уравнение:

\( 3x + 9x = 180° \)

\( 12x = 180° \)

\( x = \frac{180°}{12} = 15° \)

Теперь найдём углы:

\( \angle A = 3x = 3 \cdot 15° = 45° \)

\( \angle C = 9x = 9 \cdot 15° = 135° \)

\( \angle B = 8x = 8 \cdot 15° = 120° \)

Найдем \( \angle D \) используя второе уравнение:

\( \angle D = 180° - \angle B = 180° - 120° = 60° \).

Проверим: \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 45° + 120° + 135° + 60° = 360° \). Верно.

Ответ: 60