Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 32, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение:

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность (описанного четырёхугольника), выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна.

Пусть стороны четырёхугольника равны \(a, b, c, d\). По условию, сумма двух противоположных сторон равна 32. Пусть это будут \(a + c = 32\).

По свойству описанного четырёхугольника, сумма противоположных сторон равна, значит:

\(a + c = b + d = 32\).

Следовательно, периметр четырёхугольника \(P = (a + c) + (b + d) = 32 + 32 = 64\).

Площадь описанного четырёхугольника вычисляется по формуле:

\( S = r · p \), где \(r\) — радиус вписанной окружности, а \(p\) — полупериметр.

Полупериметр \( p = \frac{P}{2} \).

\( p = \frac{64}{2} = 32 \).

Радиус вписанной окружности \( r = 5 \).

Теперь найдём площадь:

\( S = 5 · 32 = 160 \).

Ответ: 160