4. Упростите выражение: $$(a^{-6})^7 \cdot a^{45}$$

Упростим выражение $$(a^{-6})^7 \cdot a^{45}$$.

Шаг 1: Используем свойство степени: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

$$(a^{-6})^7 = a^{-6 \cdot 7} = a^{-42}$$

Шаг 2: Подставим упрощенное значение в исходное выражение:

$$a^{-42} \cdot a^{45}$$

Шаг 3: Используем свойство степени: $$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$:

$$a^{-42 + 45} = a^3$$

Ответ: $$a^3$$