10. Упростите числовое выражение |√40√2-57| - √40√2+57.

10. Упростим выражение:

$$\left| \sqrt{40 \sqrt{2} - 57} \right| - \sqrt{40 \sqrt{2} + 57}$$

Заметим, что $$(5 \sqrt{2} - 3)^2 = (5 \sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5 \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 25 \cdot 2 - 30 \sqrt{2} + 9 = 50 + 9 - 30 \sqrt{2} = 59 - 30 \sqrt{2}$$

Попробуем представить подкоренные выражения как полные квадраты.

$$40 \sqrt{2} - 57 = (a - b \sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab \sqrt{2}$$

$$40 \sqrt{2} + 57 = (a + b \sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 + 2ab \sqrt{2}$$

Пусть $$40 \sqrt{2} - 57 = (5 \sqrt{2} - 3)^2 = 50 + 9 - 30 \sqrt{2} = 59 - 30\sqrt{2}$$

Пусть $$40 \sqrt{2} - 57 = (3 - 5\sqrt{2})^2 = 59 - 30\sqrt{2}$$

$$\sqrt{40 \sqrt{2} - 57} = |3 - 5\sqrt{2}| = 5\sqrt{2} - 3$$

$$\sqrt{40 \sqrt{2} + 57} = \sqrt{(3 + 5\sqrt{2})^2} = 3 + 5\sqrt{2}$$

$$\left| \sqrt{40 \sqrt{2} - 57} \right| - \sqrt{40 \sqrt{2} + 57} = (5\sqrt{2} - 3) - (3 + 5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2} - 3 - 3 - 5\sqrt{2} = -6$$

Ответ: -6