Решение:

a) $$ \frac{3x-1}{x^2} + \frac{x-9}{3x} = \frac{3(3x-1)}{3x^2} + \frac{x(x-9)}{3x^2} = \frac{9x-3+x^2-9x}{3x^2} = \frac{x^2-3}{3x^2} $$.

1. Приводим дроби к общему знаменателю 3x²:
• Первую дробь умножаем на 3: $$ \frac{3x-1}{x^2} = \frac{3(3x-1)}{3x^2} $$.
• Вторую дробь умножаем на x: $$ \frac{x-9}{3x} = \frac{x(x-9)}{3x^2} $$.
2. Раскрываем скобки в числителях:
• $$ 3(3x-1) = 9x-3 $$.
• $$ x(x-9) = x^2-9x $$.
3. Складываем числители: $$ (9x-3) + (x^2-9x) = x^2-3 $$.
4. Записываем результат: $$ \frac{x^2-3}{3x^2} $$.

б) $$ \frac{1}{3x+y} - \frac{1}{3x-y} = \frac{(3x-y) - (3x+y)}{(3x+y)(3x-y)} = \frac{3x-y-3x-y}{(3x)^2 - y^2} = \frac{-2y}{9x^2 - y^2} $$.

1. Приводим дроби к общему знаменателю (3x+y)(3x-y):
• Первую дробь умножаем на (3x-y): $$ \frac{1}{3x+y} = \frac{3x-y}{(3x+y)(3x-y)} $$.
• Вторую дробь умножаем на (3x+y): $$ \frac{1}{3x-y} = \frac{3x+y}{(3x+y)(3x-y)} $$.
2. Вычитаем числители: $$ (3x-y) - (3x+y) = 3x-y-3x-y = -2y $$.
3. Раскрываем знаменатель, используя разность квадратов: $$ (3x+y)(3x-y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2 $$.
4. Записываем результат: $$ \frac{-2y}{9x^2 - y^2} $$.