Упростить выражение и найти его значение: \( \frac{a^{-6}}{a^{-3} \cdot a^{-2}} \), при \( a = \frac{2}{3} \).

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\( a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-5} \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \frac{a^{-6}}{a^{-5}} \)

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\( a^{-6 - (-5)} = a^{-6 + 5} = a^{-1} \)

Теперь подставим значение \( a = \frac{2}{3} \):

\( a^{-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \)

Возведение в отрицательную степень равносильно возведению в положительную степень обратного числа:

\( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{3}{2} \).