Укажите решение неравенства \( 7x - x^2 \le 0 \).

Решение:

Решим неравенство \( 7x - x^2 \le 0 \).

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(7 - x) \le 0 \]

Найдем корни уравнения \( x(7 - x) = 0 \).

Корни: \( x_1 = 0 \) и \( 7 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 7 \).

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки интервалов:

1. Интервал \( (-\infty, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( -1(7 - (-1)) = -1(8) = -8 \). Знак: -.

2. Интервал \( (0, 7) \): Возьмем \( x = 1 \). \( 1(7 - 1) = 1(6) = 6 \). Знак: +.

3. Интервал \( (7, \infty) \): Возьмем \( x = 8 \). \( 8(7 - 8) = 8(-1) = -8 \). Знак: -.

Нам нужно \( \le 0 \), то есть отрицательные значения и нули. Это интервалы \( (-\infty, 0] \) и \( [7, \infty) \).

Среди предложенных вариантов:

1. \( [7, \infty) \)
2. \( [0, 7] \)
3. \( (-\infty, 0] \)
4. \( (-\infty, 0] \cup [7, \infty) \)

Правильным является четвертый вариант.

Ответ: 4) \( (-\infty, 0] \cup [7, \infty) \).