637. Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

Дано: \(\angle BAC = 30^\circ\) CD - касательная к окружности в точке C. Требуется доказать: \(\triangle ACD\) - равнобедренный. Решение: Так как AB - диаметр, то \(\angle ACB = 90^\circ\) (угол, опирающийся на диаметр). В треугольнике ABC: \(\angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) Угол между касательной CD и хордой AC равен углу ABC, опирающемуся на эту хорду (по свойству угла между касательной и хордой). Следовательно, \(\angle ACD = \angle ABC = 60^\circ\). Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол DAC = 30°. Тогда угол ADC можно найти как: \(\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle ACD = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\) Так, угол ADC=30, тогда угол ACD = 30. И тогда треугольник ACD равнобедренный. Значит \(\angle ADC = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\). Но поскольку внешний угол при вершине C равен 60 градусам, а внутренний при вершине А равен 30 градусам, то \(\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\). Таким образом, \(\angle DAC = \angle ADC = 30^\circ\). Это означает, что треугольник ACD равнобедренный с основанием DC.