5 Три окружности с центрами А, В, С и радиусами 4 см, 8 см, 12 см попарно каса- ются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника АВС.

• Угол A:

  \[\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{12^2 + 16^2 - 20^2}{2 \cdot 12 \cdot 16} = \frac{144 + 256 - 400}{384} = \frac{0}{384} = 0\]

  \[A = \arccos(0) = 90^\circ\]

• Угол B:

  \[\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{12^2 + 20^2 - 16^2}{2 \cdot 12 \cdot 20} = \frac{144 + 400 - 256}{480} = \frac{288}{480} = 0.6\]

  \[B = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ\]

• Угол C:

  \[C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 90^\circ - 53.13^\circ \approx 36.87^\circ\]

• Площадь сектора A:

  \[S_A = \frac{A}{360^\circ} \pi r_A^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi (4)^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 16 = 4\pi \approx 12.57 \ см^2\]

• Площадь сектора B:

  \[S_B = \frac{B}{360^\circ} \pi r_B^2 = \frac{53.13^\circ}{360^\circ} \pi (8)^2 \approx \frac{53.13^\circ}{360^\circ} \pi \cdot 64 \approx 29.65 \ см^2\]

• Площадь сектора C:

  \[S_C = \frac{C}{360^\circ} \pi r_C^2 = \frac{36.87^\circ}{360^\circ} \pi (12)^2 \approx \frac{36.87^\circ}{360^\circ} \pi \cdot 144 \approx 46.37 \ см^2\]

\[S_\text{секторов} = S_A + S_B + S_C \approx 12.57 + 29.65 + 46.37 \approx 88.59 \ см^2\]

\[S_\text{окончательная} = S - S_\text{секторов} \approx 96 - 88.59 \approx 7.41 \ см^2\]

\[S=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \ см^2\]

Неверно было считать полупериметр, так как нужно использовать малые радиусы:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

\[p = \frac{4 + 8 + 12}{2} = 12\]

\[S = \sqrt{12(12-4)(12-8)(12-12)} = 0\]