6. Точка С лежит на отрезке АВ, причем расстояние от то-\nчек А и В до некоторой плоскости а, не пересекающей\nотрезок, равны соответственно 12 см и 13 см. Найдите\nрасстояние от точки С плоскости а, если отношение\nAC:CB-3:7.\nа) 12,5 см; 6) 12,3 см; в) 12,7 см; г) другой ответ.

Решение:

• Пусть A', B' и C' — проекции точек A, B и C на плоскость α соответственно.
• AA' = 12 см (расстояние от A до α)
• BB' = 13 см (расстояние от B до α)
• AC:CB = 3:7
• Нужно найти CC' (расстояние от C до α)

Предположим, что точки A и B находятся по одну сторону от плоскости α.

Треугольники ΔACC' и ΔABB' подобны (по двум углам, так как AA' || CC' || BB', потому что все они перпендикулярны плоскости α).

Используем теорему о пропорциональных отрезках:

\( \frac{CC'-AA'}{BB'-CC'} = \frac{AC}{CB} \)

Пусть CC' = x, тогда:

\( \frac{x-12}{13-x} = \frac{3}{7} \)

7(x - 12) = 3(13 - x)

7x - 84 = 39 - 3x

10x = 123

x = 12.3 см