2. Точка М находится на расстоянии 8 см от каждой вершины квадрата ABCD. Найдите сторону квадрата, если точка М удалена от его плоскости на 43 см.

Решение:

1) Пусть ABCD - квадрат, M - точка, находящаяся на расстоянии 8 см от каждой вершины квадрата, MO - перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, MO = 43 см. Нужно найти сторону квадрата.

2) Так как точка M находится на одинаковом расстоянии от всех вершин квадрата, то основание перпендикуляра, проведенного из точки M к плоскости квадрата, совпадает с центром квадрата, то есть точкой пересечения диагоналей квадрата.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO, где AM = 8 см, MO = 43 см. По теореме Пифагора, AO² + MO² = AM²

AO² = AM² - MO² = 8² - (43)² = 64 - 16 = 48

AO = √48 = 4√3 см.

4) Так как AO - половина диагонали квадрата, то вся диагональ AC = 2AO = 2(4√3) = 8√3 см.

5) Пусть сторона квадрата равна а. Тогда, по теореме Пифагора для квадрата, a² + a² = (8√3)²

2a² = 64 × 3

2a² = 192

a² = 96

a = √96 = 4√6 см.

Ответ: сторона квадрата равна 4√6 см.