2. Точка D находится на расстоянии 4 см от каждой вершины правильного треугольника АВС, сторона которого равна 6 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС.

2. Пусть точка O - центр правильного треугольника ABC. Так как точка D равноудалена от вершин треугольника ABC, то проекция точки D на плоскость ABC является центром этого треугольника. Расстояние от точки D до плоскости ABC - это длина отрезка DO.

AO = BO = CO = 4 см.

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной a равен $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

В нашем случае a = 6 см, значит, $$AO = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$ см.

Рассмотрим треугольник AOD. Он прямоугольный, так как DO перпендикулярна плоскости ABC. По теореме Пифагора,

$$DO^2 = AD^2 - AO^2$$

$$DO^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4$$

$$DO = \sqrt{4} = 2$$ см.

Ответ: 2 см.