5. Через вершину В равнобедренного прямоугольного треугольника АBC (AC = ВС) проведена прямая ВМ, перпендикулярная плоскости треугольника. Известно, что АВ = ВС = 3 см, ВМ = 6 см. Найдите угол между прямыми СВ и АМ.

Решение:

1) Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный (AC = BC), то угол ABC равен 90°. Кроме того, AC = BC = 3 см, и BM = 6 см. BM перпендикулярна плоскости треугольника ABC.

2) Так как BM перпендикулярна плоскости ABC, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, BC и BA. Следовательно, углы MBA и MBC - прямые.

3) Рассмотрим треугольник MBC. Он прямоугольный. BC = 3 см, BM = 6 см. Тогда tg ∠BMC = BC / BM = 3 / 6 = 1 / 2

4) Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный. AB = 3 см, BM = 6 см. Тогда tg ∠BAM = BM / AB = 6 / 3 = 2

5) Найдем AM. По теореме Пифагора, AM² = AB² + BM²

AM² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45, АM = √45 = 3√5 см.

6) Так как треугольник ABC - прямоугольный, то AB^2 + BC^2 = AC^2

AC^2 = 3^2 + 3^2= 18, АC = √18 = 3√2 см.

7) Чтобы найти угол между CB и AM, рассмотрим треугольник AMC. MC^2 = MB^2 + BC^2 MC^2 = 36+9 MC= √45= 3√5

По т. косинусов AC^2 = MC^2+ AM^2 - 2 MC *AM cos AMC CosAMC = (90-18)/(90) = 72/90 cos AMC= 4/5 = 0,8

AM^2+MC^2-AC^2 /2*MC*AM = 45+45-18 /(2*45) =72/90 = 4/5 => AMC= arcos 4/5

Ответ: arcos 4/5