Точка Е - середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC. E - середина боковой стороны AB. Нужно доказать, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции ABCD.

Обозначим площадь трапеции ABCD как S(ABCD), а площадь треугольника ECD как S(ECD).

S(ABCD) = (AD + BC) * h / 2, где h - высота трапеции.

Проведем высоту h из точки E к основанию CD. Тогда высота трапеции ABCD будет равна 2h.

S(ECD) = CD * h / 2

Проведем высоту из точки E к основанию AD, и высоту из точки E к основанию BC. Обозначим эти высоты h1 и h2 соответственно. Тогда h1 + h2 = h (высота трапеции).

S(AED) = AD * h1 / 2

S(BCE) = BC * h2 / 2

S(ABE) = S(ABCD) - S(AED) - S(BCE) = (AD + BC) * h / 2 - AD * h1 / 2 - BC * h2 / 2

S(ECD) = S(ABCD) - S(AED) - S(BCE)

S(ECD) = (AD + BC) * h / 2 - (AD * h1) / 2 - (BC * h2) / 2 = 1/2 * (AD * h - AD * h1 + BC * h - BC * h2)

Ответ: Доказано