На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 49, MD = 42, Н - точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Пусть ABC - остроугольный треугольник. Окружность с диаметром BC пересекает высоту AD в точке M. AD = 49, MD = 42. H - точка пересечения высот треугольника ABC. Нужно найти AH.

AM = AD - MD = 49 - 42 = 7

Поскольку BC - диаметр, то угол BMC - прямой. Значит, BM - высота треугольника ABC.

Пусть BE - вторая высота треугольника ABC, где E лежит на AC. Тогда H - точка пересечения AD и BE.

В прямоугольном треугольнике ABD: AH = AD - HD

Рассмотрим четырехугольник CDHE. Углы CDH и CEH - прямые. Значит, сумма углов CDHE = 180 градусов. Значит, около четырехугольника CDHE можно описать окружность.

Угол DCE = углу DHE.

Рассмотрим треугольники AHD и BCE:

угол AHD = углу EHC (вертикальные углы)

угол HAD = 90 - угол ABC = угол BCE

Значит, треугольники AHD и BCE подобны.

CD * BD = AD * HD

AD * HD = BD * CD

Рассмотрим вписанный четырехугольник MBCM. Угол MBC + угол MEC = 180 градусов. Угол BEC = 90 градусов. Значит, угол MBC = 90 градусов.

Ответ: 7