24 Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции ABCD, а EC = ED. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Дано: трапеция ABCD, E - середина AB, EC = ED.

Доказать: трапеция ABCD прямоугольная.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник ECD. Так как EC = ED, то треугольник ECD равнобедренный.

2) Проведем высоту EF к основанию CD. Так как треугольник ECD равнобедренный, то EF является медианой, а значит, F - середина CD.

3) Рассмотрим треугольники ABE и ECD. Так как E - середина AB, то AE = EB. Из условия EC=ED, следовательно, треугольники ABE и ECD равны (по трем сторонам).

4) Рассмотрим треугольники AED и BEC. Так как EC = ED, AE = EB, AD = BC (трапеция ABCD равнобедренная), следовательно треугольники AED и BEC равны (по трем сторонам).

5) В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Следовательно, ∠ADC = ∠BCD.

6) Так как ABCD - трапеция, то AD || BC. Следовательно, ∠BAD + ∠ADC = 180° и ∠ABC + ∠BCD = 180°.

7) Так как ∠ADC = ∠BCD, то ∠BAD = ∠ABC.

8) Сумма углов трапеции равна 360°. Следовательно, ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360°.

9) Так как ∠BAD = ∠ABC и ∠BCD = ∠ADC, то 2(∠ABC + ∠BCD) = 360°. Следовательно, ∠ABC + ∠BCD = 180°.

10) Так как ∠ABC + ∠BCD = 180° и ∠ABC = ∠BCD, то ∠ABC = ∠BCD = 90°.

11) Так как ∠BAD = ∠ABC = 90° и ∠ADC = ∠BCD = 90°, то трапеция ABCD прямоугольная.

Ч.Т.Д.

Ответ: Доказано, что трапеция ABCD прямоугольная.