25 Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите ВС, если AD = 10, а углы С и D четырёхугольника равны соответственно 110° и 65°.

Дано: ABCD - выпуклый четырёхугольник, M - середина AD, AM = MD = MC = MB, AD = 10, ∠C = 110°, ∠D = 65°.

Найти: BC.

Решение:

1) Так как AM = MD = MC = MB, то M - центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD.

2) Так как AM = MD, то треугольник AMD равнобедренный. Значит, ∠MAD = ∠MDA = 65°.

3) ∠A = ∠MAD = 65°.

4) Рассмотрим треугольник MBC. Так как MB = MC, то треугольник MBC равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: ∠MBC = ∠MCB.

5) Сумма углов четырёхугольника равна 360°. ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

6) Выразим угол B: ∠B = 360° - ∠A - ∠C - ∠D = 360° - 65° - 110° - 65° = 120°.

7) ∠MBC = ∠MCB = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 30°.

8) Рассмотрим треугольник MCD. Так как MC = MD, то треугольник MCD равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: ∠MCD = ∠MDC = ∠D = 65°.

9) CD = MC sin(∠CMD) = MD sin(∠CMD).

10) ∠CMD = 180° - 2∠MCD = 180° - 2 * 65° = 50°.

11) Рассмотрим треугольник MAB. Так как MA = MB, то треугольник MAB равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: ∠MAB = ∠MBA = 65°.

12) AM = AD/2 = 10/2 = 5.

13) BC = 2 * AM * sin(∠A) = 2 * 5 * sin(110°) = 10 * sin(110°).

14) Так как MB = MC, то треугольник MBC - равнобедренный, а M - центр описанной окружности. AD = 10, следовательно радиус окружности = 5. Тогда BC = AD = 10

Ответ: BC = 5