4. Точка B – середина отрезка AC, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых верно равенство AM² + 2BM² + 3CM² = 4.

Поскольку точка B - середина отрезка AC, можно использовать следующие соотношения: $$ \vec{AB} = \vec{BC} $$ $$ \vec{OB} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} $$ Используем свойство середины отрезка для координат точки B: $$B = \frac{A+C}{2}$$, или $$A+C = 2B$$. Выразим вектор $$ \vec{AM} = \vec{OM} - \vec{OA} $$ и его квадрат $$AM^2 = |\vec{OM} - \vec{OA}|^2 = (\vec{OM} - \vec{OA})^2 $$ Аналогично: $$ BM^2 = (\vec{OM} - \vec{OB})^2 $$ и $$ CM^2 = (\vec{OM} - \vec{OC})^2 $$ Тогда заданное уравнение можно переписать в векторной форме: $$ (\vec{OM} - \vec{OA})^2 + 2(\vec{OM} - \vec{OB})^2 + 3(\vec{OM} - \vec{OC})^2 = 4 $$ Раскроем скобки: $$ \vec{OM}^2 - 2(\vec{OM} \cdot \vec{OA}) + \vec{OA}^2 + 2(\vec{OM}^2 - 2(\vec{OM} \cdot \vec{OB}) + \vec{OB}^2) + 3(\vec{OM}^2 - 2(\vec{OM} \cdot \vec{OC}) + \vec{OC}^2) = 4 $$ $$ \vec{OM}^2 - 2(\vec{OM} \cdot \vec{OA}) + \vec{OA}^2 + 2\vec{OM}^2 - 4(\vec{OM} \cdot \vec{OB}) + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OM}^2 - 6(\vec{OM} \cdot \vec{OC}) + 3\vec{OC}^2 = 4 $$ Сгруппируем члены: $$ 6\vec{OM}^2 - 2(\vec{OM} \cdot \vec{OA}) - 4(\vec{OM} \cdot \vec{OB}) - 6(\vec{OM} \cdot \vec{OC}) + \vec{OA}^2 + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OC}^2 = 4 $$ $$ 6\vec{OM}^2 - 2\vec{OM}(\vec{OA} + 2\vec{OB} + 3\vec{OC}) + \vec{OA}^2 + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OC}^2 = 4 $$ Учитывая, что $$ \vec{OA} + \vec{OC} = 2\vec{OB} $$, получим: $$ \vec{OA} + 2\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OC} + 2\vec{OB} + 2\vec{OC} = 2\vec{OB} + 2\vec{OB} + 2\vec{OC} = 4\vec{OB} + 2\vec{OC}$$ Тогда уравнение примет вид: $$ 6\vec{OM}^2 - 2\vec{OM} (4\vec{OB}) + \vec{OA}^2 + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OC}^2 = 4 $$ $$ 6\vec{OM}^2 - 8(\vec{OM} \cdot \vec{OB}) + \vec{OA}^2 + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OC}^2 = 4 $$ Пусть \vec{OA} = a, \vec{OB} = b, \vec{OC} = c, \vec{OM} = m. Тогда $$ |AC| = 2 $$ или $$ |C-A| = 2 $$. $$ (C-A)^2 = 4 $$. Тогда уравнение можно переписать как: $$ 6m^2 - 8(m \cdot b) + a^2 + 2b^2 + 3c^2 = 4 $$ Преобразуем выражение: $$ 6\vec{OM}^2 - 8(\vec{OM} \cdot \vec{OB}) + \vec{OA}^2 + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OC}^2 - 4 = 0 $$ $$ 6(\vec{OM}^2 - \frac{4}{3}(\vec{OM} \cdot \vec{OB})) + \vec{OA}^2 + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OC}^2 - 4 = 0 $$ $$ 6((\vec{OM} - \frac{2}{3}\vec{OB})^2 - \frac{4}{9}\vec{OB}^2) + \vec{OA}^2 + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OC}^2 - 4 = 0 $$ $$ 6(\vec{OM} - \frac{2}{3}\vec{OB})^2 - \frac{8}{3}\vec{OB}^2 + \vec{OA}^2 + 2\vec{OB}^2 + 3\vec{OC}^2 - 4 = 0 $$ $$ 6(\vec{OM} - \frac{2}{3}\vec{OB})^2 + \vec{OA}^2 + \frac{ \vec{OB}^2}{3} + 3\vec{OC}^2 - 4 = 0 $$ $$ 6(\vec{OM} - \frac{2}{3}\vec{OB})^2 = 4 - \vec{OA}^2 - \frac{ \vec{OB}^2}{3} - 3\vec{OC}^2 $$ Длина отрезка AC равна 2, следовательно, координаты точки M должны удовлетворять условию $$(\vec{OM} - \frac{2}{3}\vec{OB})^2 = R^2$$, где R - радиус окружности. Тогда M - окружность с центром в точке $$ \frac{2}{3} B $$. <strong>Ответ:</strong> Множество точек M есть окружность с центром в точке $$ \frac{2}{3} B $$, где B - середина AC.