16. Тип Д10 № 324868 Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Пошаговое решение:

1. Пусть углы, опирающиеся на дуги, равны \(3x, 4x, 11x\). Сумма этих углов равна 360 градусам, так как это полная окружность. \[3x + 4x + 11x = 360\] \[18x = 360\] \[x = 20\] Следовательно, углы равны \(3 \cdot 20 = 60^\circ\), \(4 \cdot 20 = 80^\circ\), \(11 \cdot 20 = 220^\circ\).
2. Меньший угол, опирающийся на меньшую сторону, равен 60 градусам. Это вписанный угол, значит, центральный угол, опирающийся на эту же дугу, равен \(2 \cdot 60 = 120^\circ\).
3. Используем теорему косинусов для треугольника, образованного двумя радиусами и меньшей стороной: \[14^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos 120^\circ\] \[196 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2})\] \[196 = 2R^2 + R^2\] \[196 = 3R^2\] \[R^2 = \frac{196}{3}\] \[R = \sqrt{\frac{196}{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \(\frac{14\sqrt{3}}{3}\)