9 Тип 9 і В треугольнике одна из сторон равна 12, другая равна 10, а тангенс угла между ними равен \(\frac{\sqrt{2}}{4}\). Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$$, где a и b - стороны треугольника, \(\gamma\) - угол между ними.

Т.к. известен тангенс угла, найдем синус:

$$tg(\gamma) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

$$tg^2(\gamma) = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$

$$sin^2(\gamma) = \frac{tg^2(\gamma)}{1 + tg^2(\gamma)} = \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{9}{8}} = \frac{1}{9}$$

$$sin(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$

Тогда площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{1}{3} = 20$$

Ответ: 20