10 Тип 10 і На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС 75 и ВС 10. Построена окруж- ность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, про- веденной из точки В к этой окружности.

Пусть BD - касательная к окружности с центром A, проходящей через точку C. Тогда AC = 75, BC = 10. Так как BD - касательная, то AD - радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен BD, то есть \(\angle ADB = 90^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. По теореме Пифагора $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$, где $$AB = AC + CB = 75 + 10 = 85$$, $$AD = AC = 75$$. Тогда

$$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 85^2 - 75^2 = (85-75)(85+75) = 10 \cdot 160 = 1600$$

$$BD = \sqrt{1600} = 40$$

Ответ: 40