9 Тип 17 i В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — 5(√6+ √2), а угол, из которого выходит эта диагональ, равен 30°. Найдите площадь ромба. Ответ:

Ответ: 50

Решение: Пусть дан ромб со стороной \(a = 10\), диагональю \(d_1 = 5(\sqrt{6} + \sqrt{2})\) и углом \(\alpha = 30^\circ\), из которого выходит диагональ. Найдем вторую диагональ \(d_2\) через формулу площади ромба, выраженную через диагонали и через сторону и угол: \[S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = a^2 \sin(\alpha)\] Выразим \(d_2\) через известные значения: \[d_2 = \frac{2 a^2 \sin(\alpha)}{d_1}\] Подставим известные значения: \[d_2 = \frac{2 \cdot 10^2 \cdot \sin(30^\circ)}{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}\] \[d_2 = \frac{2 \cdot 100 \cdot 0.5}{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}\] \[d_2 = \frac{100}{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}\] \[d_2 = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\] Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, чтобы избавиться от корней в знаменателе: \[d_2 = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}\] \[d_2 = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2}\] \[d_2 = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}\] \[d_2 = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})\] Теперь мы можем найти площадь ромба: \[S = \frac{1}{2} d_1 d_2\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 5(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})\] \[S = \frac{25}{2} (6 - 2)\] \[S = \frac{25}{2} \cdot 4\] \[S = 25 \cdot 2\] \[S = 50\]

Ответ: 50