5 Тип 5 № 1395 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В. если АОВ = 120° и МО = 4. В ответе запишите найденное значение, умноженное на √3.

Рассмотрим четырехугольник МАОВ. ∠MAO = ∠MBO = 90°, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. ∠AOB = 120° по условию. Сумма углов четырехугольника равна 360°, значит, ∠AMB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.

Рассмотрим ∆MAO. Он прямоугольный, МО = 4 – гипотенуза, ∠AMO = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, значит, АО = 4 ∶ 2 = 2.

Проведем МН – биссектрису угла АМВ. Она же является высотой и медианой ∆АМВ. Тогда ∠AMH = ∠BMH = 30°, АН = НВ, МН ⊥ АВ.

Рассмотрим ∆AMH. Он прямоугольный, ∠AMH = 30°, АМ = 2 (катет, противолежащий углу в 30 градусов в ∆MAO, равен АО = 2). Тогда sin 30° = АН/АМ, АН = АМ × sin 30° = 2 × 0,5 = 1.

Значит, АВ = 2 × АН = 2 × 1 = 2.

По условию задачи, необходимо найденное значение умножить на √3.

2 * √3 = 2√3

Ответ: 2