Тип 16 № 1336 i Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если угол BMC равен 140°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть (AB = AC), тогда \(\angle ABC = \angle ACB\). Пусть (BH) - высота, проведенная к стороне (AC), а (CK) - высота, проведенная к стороне (AB). Они пересекаются в точке (M). Дано: \(\angle BMC = 140^\circ\). Четырехугольник (AKMH) - прямоугольный, так как \(\angle AKB = \angle AHB = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle BAC = 180^\circ - \angle KMH\). \(\angle KMH = \angle BMC = 140^\circ\) как вертикальные углы. Значит, \(\angle BAC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\). Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике (ABC): \(\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ\). Так как \(\angle ABC = \angle ACB\), то (2 \angle ABC + 40^\circ = 180^\circ\). (2 \angle ABC = 140^\circ\). \(\angle ABC = \angle ACB = 70^\circ\). Ответ: Углы треугольника равны 40°, 70° и 70°.