9. Тип 15 № 339370 i В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin ∠A = 5' 4 АС = 9. Найдите АВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, sin∠A = 4/5, AC = 9. Необходимо найти AB.

1. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB:

$$sin∠A = \frac{BC}{AB}$$

2. Выразим BC через AB:

$$BC = AB \cdot sin∠A = \frac{4}{5}AB$$

3. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

4. Подставим известные значения:

$$AB^2 = 9^2 + (\frac{4}{5}AB)^2$$ $$AB^2 = 81 + \frac{16}{25}AB^2$$

5. Умножим обе части уравнения на 25:

$$25AB^2 = 2025 + 16AB^2$$

6. Перенесём слагаемое с AB² в левую часть:

$$25AB^2 - 16AB^2 = 2025$$ $$9AB^2 = 2025$$

7. Разделим обе части уравнения на 9:

$$AB^2 = 225$$

8. Извлечём квадратный корень:

$$AB = \sqrt{225} = 15$$

Ответ: 15