Тип 17 № 9852. Аня загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 391. Какую цифру зачеркнула Аня? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть задуманное число \(N\). Тогда \(N - S(N) = 100a + 10b + c\), где \(S(N)\) - сумма цифр числа \(N\), \(a, b, c\) - цифры. Так как \(N - S(N)\) делится на 9, то \(100a + 10b + c\) делится на 9. Значит, \(a + b + c = 9k\) для некоторого целого числа \(k\). Число 391 дает остаток 4 при делении на 9. Значит, вычеркнутая цифра должна давать остаток 5 при делении на 9. Единственная такая цифра - 5. Проверим: если вычеркнули 5, то \(391 + 5 = 396\). \(396\) делится на 9, сумма цифр \(3 + 9 + 6 = 18\). Пусть \(N = 401\), тогда \(S(N) = 5\). \(N - S(N) = 401 - 5 = 396\). Если вычеркнуть 5, получится 391. Ответ: 5