4. Сумма седьмого и девятого членов арифметической прогрессии равна 12, а произведение шестого и десятого членов равно -28. Найдите разность и первый член данной прогрессии.

Пусть $$a_1$$ - первый член, $$d$$ - разность арифметической прогрессии. Тогда $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. $$a_7 = a_1 + 6d$$, $$a_9 = a_1 + 8d$$, $$a_6 = a_1 + 5d$$, $$a_{10} = a_1 + 9d$$. Из условия задачи: $$a_7 + a_9 = 12$$ и $$a_6 \cdot a_{10} = -28$$. Подставляем выражения для членов прогрессии: $$(a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) = 12$$ $$2a_1 + 14d = 12$$ $$a_1 + 7d = 6$$ (1) $$(a_1 + 5d)(a_1 + 9d) = -28$$ (2) Из (1) выразим $$a_1 = 6 - 7d$$ и подставим в (2): $$(6 - 7d + 5d)(6 - 7d + 9d) = -28$$ $$(6 - 2d)(6 + 2d) = -28$$ $$36 - 4d^2 = -28$$ $$4d^2 = 36 + 28 = 64$$ $$d^2 = 16$$ $$d = \pm 4$$ Если $$d = 4$$, то $$a_1 = 6 - 7(4) = 6 - 28 = -22$$. Если $$d = -4$$, то $$a_1 = 6 - 7(-4) = 6 + 28 = 34$$. Ответ: $$d=4, a_1=-22$$ или $$d=-4, a_1=34$$