Составить квадратное уравнение, если один из его корней равен \( 2 - \sqrt{3} \).

Решение:

Для составления квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Пусть \( x_1 = 2 - \sqrt{3} \).

Поскольку коэффициенты уравнения действительны, то если один из корней иррационален, то второй корень является сопряжённым к нему. Следовательно, \( x_2 = 2 + \sqrt{3} \).

По теореме Виета:

Сумма корней: \( x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 2 + 2 = 4 \).

Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \).

Квадратное уравнение имеет вид \( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0 \).

Подставим найденные значения суммы и произведения корней:

\( x^2 - 4x + 1 = 0 \)

Ответ: \( x^2 - 4x + 1 = 0 \).