Solve the system of equations: \(\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{2}{y} = -1 \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8 \end{cases}\)

Решение системы уравнений:

Обозначим a = 1/x и b = 1/y.

Тогда система примет вид:

• \[ \begin{cases} a - 2b = -1 \\ 2a + b = 8 \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на 2:

• \[ 2a + b = 8 \quad | \times 2 \quad \Rightarrow \quad 4a + 2b = 16 \]

Сложим первое уравнение с новым вторым:

• \[ (a - 2b) + (4a + 2b) = -1 + 16 \\ 5a = 15 \\ a = 3 \]

Подставим значение a = 3 во второе уравнение:

• \[ 2(3) + b = 8 \\ 6 + b = 8 \\ b = 2 \]

Теперь найдем x и y:

• \[ a = \frac{1}{x} \Rightarrow 3 = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{3} \]
• \[ b = \frac{1}{y} \Rightarrow 2 = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \]

Ответ: x = 1/3, y = 1/2