Решите неравенство $$\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \le 0$$

Привет! Давай решим это неравенство.

Нам нужно найти значения x, при которых дробь $$\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9}$$ будет меньше или равна нулю.

1. Анализируем числитель:

Числитель $$(x + 4)^2$$ всегда больше или равен нулю, так как это квадрат какого-либо выражения.

$$(x + 4)^2 ≥ 0$$

2. Анализируем знаменатель:

Знаменатель $$x^2 - 9$$ не должен быть равен нулю, иначе дробь не определена.

$$x^2 - 9
e 0$$
$$x^2
e 9$$
$$x
e \pm 3$$

3. Определяем знаки дроби:

Дробь будет меньше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, или когда числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю).

• Случай 1: Числитель равен нулю.

$$(x + 4)^2 = 0$$ => $$x + 4 = 0$$ => $$x = -4$$.

При $$x = -4$$, знаменатель $$x^2 - 9 = (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7$$, что не равно нулю. Значит, $$x = -4$$ является решением.

• Случай 2: Дробь меньше нуля.

Это возможно, когда числитель положительный, а знаменатель отрицательный. Так как числитель $$(x+4)^2$$ всегда неотрицателен, нам нужно рассмотреть случай, когда он строго положительный (т.е. $$x
e -4$$), а знаменатель отрицательный.

$$x^2 - 9 < 0$$

Решим это неравенство:

$$x^2 < 9$$
$$-3 < x < 3$$

Объединяя условие $$x
e -4$$ (что уже учтено, так как $$-3 < x < 3$$), мы получаем интервал $$(-3; 3)$$.

4. Объединяем решения:

Мы нашли, что $$x = -4$$ является решением, и интервал $$(-3; 3)$$ также является частью решения.

Однако, внимательно посмотрим на условие: $$\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \le 0$$.

Так как $$(x+4)^2 ≥ 0$$, то для выполнения неравенства нам нужно, чтобы:

1. $$(x+4)^2 = 0$$ и $$x^2-9
   e 0$$, что дает $$x = -4$$.
2. $$(x+4)^2 > 0$$ (т.е. $$x
   e -4$$) и $$x^2-9 < 0$$.

Из $$x^2-9 < 0$$ следует $$-3 < x < 3$$.

Теперь нужно объединить эти два условия.

Если $$x = -4$$, то $$\frac{(-4+4)^2}{(-4)^2 - 9} = \frac{0}{7} = 0$$, что удовлетворяет $$\le 0$$.

Если $$-3 < x < 3$$, то $$(x+4)^2$$ будет положительным (так как $$x=-4$$ не входит в этот интервал), а $$x^2-9$$ будет отрицательным. Положительное число, деленное на отрицательное, дает отрицательное число, которое удовлетворяет $$\le 0$$.

Однако, нужно учесть, что $$x=-4$$ находится вне интервала $$(-3, 3)$$.

Поэтому, решение неравенства включает $$x = -4$$ и интервал, где знаменатель отрицателен.

Рассмотрим знаки на числовой оси:

• $$x = -4$$ (корень числителя)
• $$x = -3$$ и $$x = 3$$ (корни знаменателя)

Числовая ось разбивается на интервалы: $$(-\infty, -4]$$, $$[-4, -3)$$, $$(-3, 3)$$, $$(3, \infty)$$.

• $$(-\infty, -4]$$: Возьмем $$x=-5$$. $$\frac{(-5+4)^2}{(-5)^2-9} = \frac{1}{16} > 0$$.
• $$[-4, -3)$$: Возьмем $$x=-3.5$$. $$\frac{(-3.5+4)^2}{(-3.5)^2-9} = \frac{(0.5)^2}{12.25-9} = \frac{0.25}{3.25} > 0$$.
• $$(-3, 3)$$: Возьмем $$x=0$$. $$\frac{(0+4)^2}{0^2-9} = \frac{16}{-9} < 0$$. Этот интервал подходит.
• $$(3, \infty)$$: Возьмем $$x=4$$. $$\frac{(4+4)^2}{4^2-9} = \frac{64}{7} > 0$$.

Теперь нужно учесть случай, когда числитель равен нулю. Это $$x=-4$$. При $$x=-4$$, значение дроби равно 0, что удовлетворяет $$\le 0$$.

Таким образом, решениями являются $$x=-4$$ и интервал $$(-3, 3)$$.

Ответ: $$x = -4$$ и $$-3 < x < 3$$. В виде интервалов: $$\{-4\} \cup (-3; 3)$$.