3. Сократите дробь: \frac{18x²+7x-1}{(6x+3)(5x-2)}

Разложим числитель $$18x^2 + 7x - 1$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$18x^2 + 7x - 1 = 0$$.

Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1) = 49 + 72 = 121$$.

Корни:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 18} = \frac{-7 + 11}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 18} = \frac{-7 - 11}{36} = \frac{-18}{36} = -\frac{1}{2}$$.

Тогда $$18x^2 + 7x - 1 = 18(x - x_1)(x - x_2) = 18(x - \frac{1}{9})(x + \frac{1}{2}) = 2(9x - 1)(2x + 1)$$.

Преобразуем знаменатель:

$$(6x + 3)(5x - 2) = 3(2x + 1)(5x - 2)$$.

Исходная дробь: $$\frac{18x^2 + 7x - 1}{(6x + 3)(5x - 2)} = \frac{2(9x - 1)(2x + 1)}{3(2x + 1)(5x - 2)}$$.

Сокращаем на $$(2x + 1)$$: $$\frac{2(9x - 1)(2x + 1)}{3(2x + 1)(5x - 2)} = \frac{2(9x - 1)}{3(5x - 2)} = \frac{18x - 2}{15x - 6}$$.

Ответ: $$\frac{18x - 2}{15x - 6}$$