5. Сократите дробь: \frac{3x²+x-4}{x²+5x-6}

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим квадратный трехчлен $$3x^2 + x - 4$$.

Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$$.

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$.

Таким образом, $$3x^2 + x - 4 = 3(x - 1)(x + \frac{4}{3}) = (x - 1)(3x + 4)$$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $$x^2 + 5x - 6$$.

Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$.

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$.

Таким образом, $$x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)$$.

Тогда исходная дробь:

$$\frac{3x^2 + x - 4}{x^2 + 5x - 6} = \frac{(x - 1)(3x + 4)}{(x - 1)(x + 6)}$$.

Сокращаем на $$(x - 1)$$:

$$\frac{(x - 1)(3x + 4)}{(x - 1)(x + 6)} = \frac{3x + 4}{x + 6}$$.

Ответ: $$\frac{3x+4}{x+6}$$